Signes et variations de la fonction exponentielle

Propriétés

1. La fonction exponentielle est strictement positive sur  $\mathbb{R}$ . Pour tout $x$ dans $\mathbb{R}$ , $\text{exp}(x)>0$ .
2. La fonction exponentielle est strictement croissante   sur  $\mathbb{R}$ .

Démonstration

1. Nous savons déjà que $\text{exp}$ ne s'annule pas sur  $\mathbb{R}$ .
Soit $x$ un réel. D'après la relation fonctionnelle, on a $\text{exp}(x)=\text{exp}({\displaystyle \frac{x}{2}})\times \text{exp}({\displaystyle \frac{x}{2}})={(\text{exp}({\displaystyle \frac{x}{2}}))}^2$ ; on conclut que $\text{exp}$ est strictement positive sur  $\mathbb{R}$ .
2. Pour tout  $x$ réel,  ${\text{exp}}^{\prime }(x)=\text{exp}(x)$ et  $\exp (x)>0$ . Alors, pour tout  $x$ réel,  ${\text{exp}}^{\prime }(x)>0$ et  $\text{exp}$ est strictement croissante sur  $\mathbb{R}$ .

 Tableau de variations de la fonction exponentielle

La figure suivante montre la courbe représentative de la fonction exponentielle dans un repère orthonormal.